Puedes crear copias automáticas de tu web a través de Softaculous para guardarlas directamente en Google Drive.
Para automatizar backups de Softaculous a Google Drive debes seguir estos 2 pasos:
1) Debes añadir Google Drive como destino siguiendo este manual:
2) Programar las copias como quieras (fecha, frecuencia, etc) como se indica aquí:
Softaculous también tiene publicado un artículo en su blog que resume todos los pasos en un mismo post: